Урок «Центр масс»
Регламент: 2 урока
Цель: Познакомить учащихся с понятием «центр масс» и его свойствами.
Оборудование: фигуры из картона или фанеры, «неваляшка», перочинный нож, карандаши.
План урока
Этапы урока время методы и приемы
I Введение учащихся 10 фронтальный опрос, работа учащихся у доски.
в проблему урока
II. Изучение нового 15-20 Рассказ учителя, решение задачи,
материала: 10 экспериментальное задание
III Отработка нового 10 сообщения учащихся
материала: 10-15 решение задач,
15 фронтальный опрос
IV.Выводы. Домашнее 5-10 Устное обобщение материала учителем.
задание Запись на доске
Ход урока.
I Повторение 1. Фронтальный опрос: плечо силы, момент силы, условие равновесия, виды равновесия
Эпиграф: Центром тяжести каждого тела является некоторая располо-женная внутри его точка - такая, что если за нее мысленно подвесить тело, то оно остается в покое и сохраняет первона-чальное положение.
II . Объяснение нового материала
Пусть дано тело или система тел. Мысленно разобьем тело на сколь угодно малые части с массами m1, m2, m3… Каждую из этих частей можно рассматривать как материальную точку. Положение в пространстве i-ой материальной точки с массой mi определяется радиус-вектором r i (рис. 1.1). Масса тела есть сумма масс отдельных его частей: т = ∑ mi.
Центром масс тела (системы тел) называет-ся такая точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле
r = 1/m∙∑ mi r i
Можно показать, что положение центра масс относительно тела не за-висит от выбора начала координат О, т.е. данное выше определение центра масс однозначно и корректно.
Центр масс однородных симметричных тел рас-положен в их геометрическом центре или на оси симметрии, центр масс у плоского тела в виде произвольного треугольника находится на пересече-нии его медиан.
Решение задачи
ЗАДАЧА 1. На легком стержне (рис. 1.2) закреплены однородные ша-ры массами m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 6 кг, и m4 = 3 кг. Расстояние между центрами любых ближайших шаров
а = 10 см. Найти положе-ние центра тяжести и центра масс конструкции.
РЕШЕНИЕ. Положение относительно шаров центра тяжести конструкции не зависит от ориентации стержня в пространстве. Для ре-шения задачи удобно располо-жить стержень горизонтально, как показано на рисунке 2. Пусть центр тяжести находится на стержне на расстоянии L от центра левого шара, т.е. от т. А. В центре тяжести приложена равнодействующая всех сил тяжести и ее момент относительно оси А равен сумме моментов сил тяжести шаров. Имеем r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 g 2 а + m 4 g 3 а.
Отсюда L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 см
ОТВЕТ. Центр тяжести совпадает с центром масс и находится, в точке С на расстоянии L=16,4см от центра левого шара.
Оказывается, что у центра масс тела (или системы тел) есть ряд за-мечательных свойств. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса все-го тела была сосредоточена в нем.
Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения Земли, на-зывают точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, дейст-вующих на все части тела. Эта равнодействующая называется силой тя-жести, действующей на тело. Сила тяжести, приложенная в центре тя-жести тела, оказывает на тело такое же воздействие, как и нее силы тя-жести, действующие на отдельные части тела.
Интересен случай, когда размеры тела намного меньше размеров Зем-ли. Тогда можно считать, что на все части тела действуют параллельные силы тяжести, т.е. тело находится в однородном поле тяжести. У парал-лельных и одинаково направленных сил всегда есть равнодействующая, что можно доказать. Но при определенном положении тела в простран-стве можно указать только линию действия равнодействующей всех параллельных сил тяжести, точка ее приложения останется пока неопреде-ленной, т.к. для твердого тела любую силу можно переносить вдоль ли-нии ее действия. Как же быть с точкой приложения?
Можно показать, что при любом положении тела в однородном поле тяжести, линия действия равнодействующей всех сил тяжести, действу-ющих на отдельные части тела, проходят через одну и ту же точку, не-подвижную относительно тела. В этой точке и прикладывается равно-действующая, а сама точка будет центром тяжести тела.
Положение центра тяжести относительно тела зависит только от фор-мы тела и распределения массы в теле и не зависит от положения тела в однородном поле тяжести. Центр тяжести не обязательно находится в са-мом теле. Например, у обруча в однородном поле тяжести центр тяжести лежит в его геометрическом центре.
В однородном поле тяжести центр тяжести те-ла совпадает с его центром масс.
В подавляющем боль-шинстве случаев один термин безбо-лезненно можно заменять другим.
Но: центр масс тела су-ществует независимо от наличия поля тяжести, а о центре тяжести мож-но говорить только при наличии силы тяжести.
Местоположение центра тяжести тела, а значит и центра масс, удобно находить, учитывая симметричность тела и используя понятие момента силы.
Если плечо силы равно нулю, то момент силы равен нулю и такая сила не вызывает вращательного движения тела.
Следовательно, если линия действия силы проходит через центр масс, то оно движется поступательно.
Таким образом, можно определить центр масс любой плоской фигуры. Для этого надо закрепить ее в одной точке, дав ей возможность свободно поворачиваться. Она установится так, чтобы сила тяжести, поворачивающая ее, проходила через центр масс. В точке закрепления фигуры подвесим нить с грузом (гайкой), проведем линию вдоль подвеса (т.е. линию действия силы тяжести). Повторим действия, закрепив фигуру в другой точке. Пересечение линий действия сил тяжести - центр масс тела
Экспериментальное задание: определить центр тяжести плоской фигуры (по приготовленным ранее учащимися фигурам из картона или фанеры).
Инструкция: закрепляем фигурку на штативе. Подвешиваем за один из углов фигуры отвес. Проводим линию действия силы тяжести. Поворачиваем фигуру, повторяем действие. Центр масс лежит в точке пересечения линий действия силы тяжести.
Быстро справившимся с заданием учащимся можно дать дополнительное задание: прикрепить к фигуре груз (металлический болт) и определить новое положение центра масс. Сделать вывод.
Изучение замечательных свойств «центров», которому более двух тыся-челетий, оказалось полезным не толь-ко для механики - например, при конструировании транспортных средств и военной техники, расчете устойчивости сооружений или для вывода уравнений движения реактив-ных аппаратов. Вряд ли Архимед мог даже помыслить о том, что поня-тие центра масс окажется весьма удоб-ным для исследований в ядерной фи-зике или в физике элементарных час-тиц.
Сообщения учащихся:
В своем труде «О равновесии плос-ких тел» Архимед употреблял понятие центра тяжести, фактически не опре-деляя его. Видимо, оно впервые было введено неизвестным предшественни-ком Архимеда или же им самим, но в более ранней, не дошедшей до нас работе.
Должно было пройти долгих сем-надцать столетий, прежде чем наука прибавила к исследованиям Архимеда о центрах тяжести новые результаты. Это произошло, когда Леонардо да Винчи сумел найти центр тяжести тет-раэдра. Он же, размышляя об устойчи-вости итальянских наклонных башен, в том числе - Пизанской, пришел к «теореме об опорном многоугольни-ке».
Выясненные еще Архимедом усло-вия равновесия плавающих тел впос-ледствии пришлось переоткрывать. Занимался этим в конце XVI века: голландский ученый Симон Стевин, применявший, наряду с понятием цен-тра тяжести, и понятие «центр давле-ния» - точку приложения силы давле-ния окружающей тело воды.
Прин-цип Торричелли (а его имя носят и формулы для расчета центра масс), оказывается, был предвосхищен его учителем Галилеем. В свою очередь, этот принцип лег в основу классичес-кого труда Гюйгенса о маятниковых часах, а также был использован в знаменитых гидростатических иссле-дованиях Паскаля.
Метод, позволивший Эйлеру изу-чать движение твердого тела под дей-ствием любых сил, состоял в разложе-нии этого движения на перемещение центра масс тела и вращение вокруг проходящих через него осей.
Для сохранения в неизменном по-ложении предметов при движении их опоры уже несколько столетий приме-няется так называемый карданов под-вес - устройство, в котором центр тяжести тела располагают ниже осей, вокруг которых оно может вращаться. Примером может служить корабельная керосиновая лампа.
Хотя на Луне сила тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле, увеличить там рекорд по прыжкам в высоту уда-лось бы «всего» лишь в четыре раза. К такому выводу приводят расчеты по изменению высоты центра тяжести тела спортсмена.
Помимо суточного вращения вок-руг своей оси и годового обращения вокруг Солнца, Земля принимает уча-стие еще в одном круговом движении. Вместе с Луной она «крутится» вокруг общего центра масс, расположенного примерно в 4700 километрах от центра Земли.
Некоторые искусственные спутни-ки Земли снабжены складной штангой в несколько или даже в десятки мет-ров, утяжеленной на конце (так назы-ваемый гравитационный стабилиза-тор). Дело в том, что спутник вытяну-той формы стремится при движении по орбите повернуться вокруг своего центра масс так, чтобы его продольная ось расположилась вертикально. Тог-да он, подобно Луне, будет все время обращен к Земле одной стороной.
Наблюдения за движением неко-торых видимых звезд свидетельству-ют о том, что они входят в двойные системы, в которых происходит вра-щение «небесных партнеров» вокруг общего центра масс. Одним из невиди-мых компаньонов в такой системе мо-жет быть нейтронная звезда или, воз-можно, черная дыра.
Объяснение учителя
Теорема о центре масс: центр масс те-ла может изменить свое положение только под действием внешних сил.
Следствие теоремы о центре масс: центр масс замкнутой системы тел остается неподвижным при любых взаимодействиях тел системы.
Решение задачи (у доски)
ЗАДАЧА 2. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние h сдви-нется лодка, если масса человека m= 60кг, масса лодки М = 120кг, длина лодки L=3м? Сопротивлением воды пренебречь.
РЕШЕНИЕ. Воспользуемся условием задачи, что начальная скорость центра масс равна нулю (лодка и человек вначале покоились) и сопротивление воды отсутствует (никакие внешние силы в горизонтальном направлении на систему «человек-лодка» не действуют). Следователь-но, координата центра масс системы в горизонтальном направлении не изменилась. На рис.3 изображено начальное и конечное положение лодки и человека. Начальная координата х0 центра масс х0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Конечная координата х центра масс х = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Приравнивая х0 = х, находим h= mL/(m+M) =1м
Дополнительно: сборник задач Степановой Г.Н. №393
Объяснение учителя
Вспоминая условия равновесия, мы выяснили, что
Для тел, имеющих площадь опоры, устойчивое равновесие наблюдается в том случае, когда линия действия силы тяжести проходит через основание.
Следствие: чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести, тем устойчивее положение равновесия.
Демонстрация
Поставьте детскую игрушку неваляш-ку (Ваньку - Встаньку) на шерохова-тую доску и приподнимите правый край доски. В какую сторону откло-нится «голова» игрушки при сохране-нии ее равновесия?
Объяснение: Центр тяжести С неваляшки находится ниже геометрического центра О шарообразной поверхности «туловища». В положе-нии равновесия точка С и точка касания А игрушки с на-клонной плоскостью должны находиться на одной вертикали; следовательно «голова» неваляшки отклонится влево
Как объяснить сохранение рав-новесия в случае, показанном на ри-сунке?
Объяснение: Центр тяжести системы карандаш - нож лежит ниже точ-ки опоры
III Закрепление. Фронтальный опрос
Вопросы и задачи
1. При перемещении тела с экватора на полюс действующая на него сила тяжести меняется. Отражается ли это на положении центра тяжести тела?
Ответ: нет, т.к. относительные изменения силы тяжести всех элементов тела одинаковы.
2. Можно ли найти центр тяжести «гантели», состоящей из двух массив-ных шариков, соединенных невесо-мым стержнем, при условии, что дли-на «гантели» сравнима с диаметром Земли?
Ответ: нет. Условие существования центра тяжести - однород-ность поля тяготения. В неоднородном гравитационном поле повороты «гантели» вокруг ее центра масс приводят к тому, что линии действия L1 и L2, равнодействующих сил тяжести, приложенных к шарикам, не имеют общей точки
3. Почему при резком торможении автомобиля его передняя часть опус-кается?
Ответ: при торможении на колеса со стороны дороги действует сила трения, создающая вращающий момент вокруг центра масс автомобиля.
4. Где находится центр тяжести буб-лика?
Ответ: в дырке!
5. В цилиндрический стакан понем-ногу наливают воду. Как будет изме-няться положение центра тяжести си-стемы стакан - вода?
Ответ: Центр тяжести системы сначала будет понижаться, а потом - повышаться.
6. Какой длины конец надо отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился на ∆ℓ?
Ответ: длиной 2∆ℓ.
7. Однородный стержень согну-ли посередине под прямым углом. Где оказался теперь его центр тяжес-ти?
Ответ: в точке О — середине отрезка О1О2, соединяющего сере-дины участков АВ и ВС стержня
9. Неподвижная космическая ста-ция представляет собой цилиндр. Космонавт начинает круговой обход ста-ции по ее поверхности. Что произойдет со станцией?
Ответ: с танция придет во вращение в противоположную сторо-ну, причем ее центр будет описывать окружность вокруг об-щего с космонавтом центра масс.
11. Почему трудно передвигаться на ходулях?
Ответ: центр тяжести человека на ходулях значительно повыша-ется, а площадь его опоры на землю уменьшается.
12. Когда канатоходцу легче удер-жать равновесие - при обычном пере-движении по канату или при переносе сильно изогнутого коромысла, нагру-женного ведрами с водой?
Ответ: Во втором случае, так как центр масс канатоходца с вед-рами лежит ниже, т.е. ближе к опоре - канату.
IV Домашнее задание: (выполняется желающими - задачи трудные, решившие их получают "5").
*1. Найдите центр тяжести системы шаров, находящихся в вершинах равностороннего невесомого треугольника, изображенного на рисунке
Ответ: центр тяжести лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шар массой 2m
*2. Глубина лунки в доске, в кото-рую вставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле накло-на доски к горизонту шар выскочит из лунки?
Уравнение движения центра масс в векторной форме
Положение и движение самолета в полете определяют относительно поверхности Земли. Поэтому за основную систему отсчета, принимают геоцентрическую неинерциальную систему координат, связанную с Землей и совершающую вместе с ней суточное
вращение с угловой скоростью со3 (земная система отсчета).
Движение центра масс самолета описывается динамическим
уравнением (1.7), которое после подстановки FBIi = RA + mgr примет вид
m^^P + RA + mgr + F’ + F*, (1.32)
где 1/к - вектор скорости движения центра масс самолета относи-
тельно Земли и gr - вектор гравитационного ускорения.
Переносную и кориолисову силы инерции, связанные с вращением Земли, определяют известными из теоретической механики выражениями
Fe - - mWe == - m
KK = - m#K = - 2m(to3 x VK), . (1.33)
где r -- радиус-вектор, проведенный из начала геоцентрической системы отсчета 0° в центр масс самолета; We и И7К - переносное и кориолисово ускорения центра масс, обусловленные вращением выбранной геоцентрической системы отсчета относительно инерциальной. ‘ .., .
Поскольку в справочных таблицах обычно приводятся значения ускорения свободного падения с учетом переносной силы инерции в зависимости от высоты, то в правой части уравнения (1.32) можно
геометрическую сумму сил гравитационного притяжеция. mgr и переносной силы инерции F1 заменить силой тяжести G:
G = mgt + Fe - mg. (1-34)
В (1.34) g-вектор результирующего ускорения свободного падения и центробежной силы,.
Векторное уравнение (1,32) с учетом (1.34) запишем в виде
т^г=? + ^ + ®1+?к — О-35)
Как было указано в § 1.1, при практическом применении векторное уравнение движения проектируется на оси прямоугольной системы координат. Выбор систёмы координат для составления-дифференциальных уравнений движения центра масс самолета определяется задачей исследования. При исследовании траекторий обычно применяют траекторные оси. В то же время задачи устойчивости и управляемости удобнее рассматривать в связанной системе координат.
Уравнения движения центра масс в траекторией системе координат
Наиболее простую и удобную форму система динамических уравнений движения центра масс самолета (поступательного движения) примет, если векторное уравнение (1.35) спроектировать на оси траекторной системы координат.
Применяя формулы (1.9) для проектирования левой части уравнения (1.35) и учитывая, что 1/*„ = VI:, Vm = Vzi: =0, получим
тУк = Рхи Г Ххк ~Ь GXK ~Ь Р*к‘> тыг^Ук - Р!,к г Уi; b G,;K — F(1.36) - тыугУК - РZK “Ь ~Ь GZK ф F*к,
где (оун, согк - проекции на траекторные оси вектора угловой ско-
рости (о„ вращения траекторной системы координат относительно Земли; в правой части приведены проекции соответствующих сил на траекторные оси.
Для написания этих уравнений в развернутом виде необходимо
найти проекции угловой скорости сок, а также проекции кориоли-
совой силы инерции FK на траекторные оси. Проекции внешних сил и тяги на эти оси были определены в § 1.6.
Угловую скорость со„ можно представить в виде суммы переносной
угловой скорости сокр нормальной системы 0XgYgZg в системе от-
счета O^X^YqZq и угловой скорости сок& вращения скоростной системы относительно нормальной:
сон = соКр -|- coKg. (1.37)
Переносная угловая скорость сокр, в свою очередь, может быть представлена суммой угловых скоростей:
Шкр -Я-ф-ф, (1.38)
где К - угловая скорость поворота меридиональной плоскости,
Угловая скорость coKg также может быть представлена в виде
суммы угловой скорости Фг вокруг ОСИ OYg и угловой скорости 0 вокруг оси OZg (см. рис. 1.5):
Используя табл. I (см. приложение) направляющих косинусов, находим проекции вектора сок на оси OY„ и OZK траекторной системы
co^j, = Я (sin ер cos 0 - cos ф sin Y sin 0) ф sin Y sin 0 + !F cos 0;
согк = Я, cos ф sin V - ф cos V ~f — 0, (1-40)
которые после подстановки выражений (1.21) в результате несложных преобразований будут иметь вид
gj,(K = ¥ cos 0 V sin 4r cos20 tg ф/(/?з — f Я);
co2K = 0 - И cos Q/(R3 + Я). (1.41)
Найдем теперь проекции кориолисовой силы инерции на траек — торные оси. Вектор кориолисовой силы инерции определяется известной из механики формулой
FK ~ - mwK = - 2т(и3 х Кк) (1-42)
и перпендикулярен (03 и Ук.
Проекции кориолисовой силы инерции на оси траекторной системы выражаются формулами
Кк = 0; FyK = 2ma>aVR cos ф cos
F*к = 2mcoaVK (sin ф cos 0 - cos ф sin ‘P sin 0).
Подставляя в (1.36) выражения для проекций угловых скоростей, определенные формулами (1.41), проекции тяги, аэродинамической силы, силы тяжести (см. формулы (1.27) и (1.28), а также (1.30)) и проекции кориолисовой силы инерции, выраженные формулами (1.43), получим систему динамических уравнений движения центра масс самолета относительно сферической вращающейся Земли в проекциях на оси траекторной системы координат (при отсутствии ветра ук = V, ¥ = фи):
mV - Р cos (а + ф,) cos р - Ха - mg sin 0; (1.44)
mVQ = Р = пха
п1т = Р fsln (« + COS Уа + cos (о — f Фя) Stalin уа1 +
Ya cos у a - Zu sin Y0} = nya cos у a - nzU sin ya nzк = -^{p фР) sin p cos yJ h + У a sin ya + Za cos = tiya sin Yn + «го COS Yo-
В (1.49) и (1.50) аэродинамические силы определены в скоростной системе осей координат. .
‘ Разделив левые и правые части уравнений (1.44) … (1.46) на О = mg, получим динамические уравнения движения центра масс в перегрузках
V ?= пХа - sin 0;
Jr ё = tlya COS Yu — «za Sin Yu - COS 0 |-
f - cos ф sin ¥ (/?з + //)’. (1.51)
——— - і = nya sin Yu - «70 cos Ya H — - C0B к (simp cos 0 -
Cos ф cos ¥ sin 0) - Vі cosE0 sin ¥ tg
‘При рассмотрении частных случаев движения самолета выражения для проекций перегрузки значительно упрощаются.
Для]) полета без скольжения (ft == О, Za = 0) с малыми углами атаки, когда можно принять sin (a + фР) « а + фР, cos (os + + Фр) » 1, формулы (1.49) и (1.50) примут вид
Р-Ха. .. Р(а + Фр) + Ко. ха~ mg ■’ пч°~ Ищ *
пга = 0 (1,52)
и, без ветра, " ‘ 1 ‘ ■
«жк ~ «зса» пу* =.■«№COS Yu’.. «Лі = «j/аSin Yu — (15)
В проекциях на связанные оси вектор перегрузки может быть представлен составляющими пх, пу и nz, которые называются продольной, нормальной и поперечной перегрузкой соответственно. Используя таблицу направляющих косинусов, получим
Пх = пха COS a COS Р + пиа sin о - nzu cos os Sin Р; 4
пу - - пха sin a cos Р -)- пуа cos a + пга sin a sin P; (1-54) «г = nxa Si» P + «га cos P-
§ 1.8. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
Исследование движения самолета относительно центра масс (вращательного,- илн углового) удобно выполнять, если использовать динамические уравнения в проекциях на оси связанной системы координат 0XYZ. При изучении углового движения само-
лета так же, как и при определении траекторий центра масс, применяют в качестве системы отсчета неинерциальную систему, связанную с Землей.
Проектируя векторное уравнение (1.8) на оси связанной системы координат и применяя формулы (1.9) для вычисления проекций производных по времени от вектора кинетического момента самолета, получим систему скалярных уравнений движения самолета относительно центра масс (вращательного, или углового движения)
*§.- + coyKz-a>zKy = MRx)
J — агКх ьзхКг = Мру’, (1.55)
Rff — + ЫхКу - Ь)1/Кх = Мрг,
где К. х, К у, Кг - проекции вектора кинетического момента самолета на связанные оси координат; (ох, ыу, (oz - проекции вектора угловой скорости самолета относительно Земли на те же оси; MRx, MRu, MRz - проекции результирующего момента аэродинамических сил и тяги относительно центра масс на те же оси. Следует иметь в виду, что момент массовых сил (сил тяжести, центробежных и кориолисовых сил инерции) вокруг центра масс самолета равен нулю.
Угловая скорость самолета относительно Земли является суммой векторов угловой скорости самолета относительно нормальной
системы координат и угловой скорости (о«р вращения нормальной системы координат относительно Земли вследствие кривизны поверхности Земли, Для реальных условий полета самолета последняя
составляющая ы„р мала и ею можно пренебречь.
Проекции кинетического момента К на произвольные подвижньЙ! оси записываются в теоретической механике^как /’V-;
Кх JХ^Х ‘ /xytoy /хг(0г)
где /ж, Jy, Jz осевые, а 7*„, Jxz, uJyZ - центробежные моменты инерции, которые определяются формулами:
Jx = J (уг + z) dm Jy - J (Xі — f z-) dm)
Jz = j (Xі + Уъ) dm; Jay = jxy dm
Jxi = j xz dm) Jyz = j t/z dm.
Моменты инерции самолетов с заметно изменяющейся в полете массой являются функциями времени.
Поскольку основная плоскость OXY связанной системы координат является плоскостью симметрии самолета, то в связанных осях центробежные моменты инерции, содержащие координаты г, равны нулю: Jxz — Juz — — 0.
С учетом этого упрощения, используя выражения (1.56), уравнения (1.55), запишем в виде
Jх^х ^ху®у і г ^ у) ^ ху^х^у == рх)
Jу®У ^ху®х (/ж ‘ *^г) ®жВ)г Jx^z == ^Ry’i
Jг Ь (^у ^х) ^[>х^[)у Jxy (Щ* Wp) = Аі рг.
Подробнее выражения для проекций результирующего момента MRx, MRy и MRz будут рассмотрены во второй части книги при анализе углового движения самолета.
Основной закон динамики можно записать в иной форме, зная понятие центра масс системы:
Это есть уравнение движения центра масс системы , одно из важнейших уравнений механики. Оно утверждает, что центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы .
Ускорение центра масс системы совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.
Если , то , значит и - это случай замкнутой системы в инерциальной системе отсчета. Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, это означает, что её импульс сохраняется в процессе движения.
Пример: однородный цилиндр массы и радиуса скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти уравнение движения?
| |
Совместное решение дает значение параметров
Уравнение движения центра масс совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально массе системы .
Систему отсчета, жестко связанную с центром масс, которая движется поступательно относительно ИСО называют системой центра масс. Ее особенностью является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю, так, как .
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Кинематика поступательного движения
Физические основы механики.. кинематика поступательного движения.. механическое движение формой существования..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Механическое движение
Материя, как известно, существует в двух видах: в виде вещества и поля. К первому виду относятся атомы и молекулы, из которых построены все тела. Ко второму виду относятся все виды полей: гравитаци
Пространство и время
Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Эти понятия являются основополагающими для всех естественных наук. Любое тело имеет размеры, т.е. свою пространственную протяженность
Система отсчета
Для однозначного определения положения тела в произвольный момент времени необходимо выбрать систему отсчета - систему координат, снабженнуя часами и жестко связаннуя с абсолютно твердым телом, по
Кинематические уравнения движения
При движении т.М ее координаты и меняются со временем, поэтому для задания закона движения необходимо указать вид фун
Перемещение, элементарное перемещение
Пусть точка М движется от А к В по криволинейному пути АВ. В начальный момент ее радиус-вектор равен
Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения
Движение точки характеризуется также ускорением-быстротой изменения скорости. Если скорость точки за произвольное время
Поступательное движение
Простейшим видом механического движения твердого тела является поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела перемещается вместе с телом, оставаясь параллельной| сво
Закон инерции
В основе классической механики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в сочинении «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687г. Эти законы явились результатом гениал
Инерциальная система отсчета
Известно, что механическое движение относительно и его характер зависит от выбора системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Например, тела, лежащие на гладком п
Масса. Второй закон Ньютона
Основная задача динамики заключается в определении характеристик движения тел под действием приложенных к ним сил. Из опыта известно, что под действием силы
Основной закон динамики материальной точки
Уравнение описывает изменение движения тела конечных размеров под действием силы при отсутствии деформации и если оно
Третий закон Ньютона
Наблюдения и опыты свидетельствуют о том, что механическое действие одного тела на другое является всегда взаимодействием. Если тело 2 действует на тело 1, то тело 1 обязательно противодействует те
Преобразования Галилея
Они позволяют определить кинематические величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Возьмем
Принцип относительности Галилея
Ускорение какой-либо точки во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно одинаково:
Сохраняющиеся величины
Любое тело или система тел представляют собой совокупность материальных точек или частиц. Состояние такой системы в некоторый момент времени в механике определяется заданием координат и скоростей в
Центр масс
В любой системе частиц можно найти точку, называемую центром масс
Консервативные силы
Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и других сил. Поле
Центральные силы
Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле об
Потенциальная энергия частицы в силовом поле
То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциально
Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля
Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий, т.к. он применим и к силам
Кинетическая энергия частицы в силовом поле
Пусть частица массой движется в силов
Полная механическая энергия частицы
Известно, что приращение кинетической энергии частицы при перемещении в силовом поле равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу:
Закон сохранения механической энергии частицы
Из выражения следует, что в стационарном поле консервативных сил полная механическая энергия частицы может изменяться
Кинематика
Поворот тела на некоторый угол можно
Момент импульса частицы. Момент силы
Кроме энергии и импульса существует ещё одна физическая величина, с которой связан закон сохранения - это момент импульса. Моментом импульса частицы
Момент импульса и момент силы относительно оси
Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось
Закон сохранения момента импульса системы
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы и
Таким образом, момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, не изменяется со временем
Это справедливо относительно любой точки инерциальной системы отсчета: . Моменты импульса отдельных частей системы м
Момент инерции твердого тела
Рассмотрим твердое тело, которое мож
Уравнение динамики вращения твердого тела
Уравнение динамики вращения твердого тела можно получить, записав уравнение моментов для твердого тела, вращающегося вокруг произвольной оси
Кинетическая энергия вращающегося тела
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через него. Разобьем его на частицы с малыми объемами и массами
Работа вращения твердого тела
Если тело приводится во вращение силой
Центробежная сила инерции
Рассмотрим диск, который вращается вместе с шариком на пружине, надетой на спицу, рис.5.3.
Шарик находится
Сила Кориолиса
При движении тела относительно вращающейся СО, кроме, появляется ещё одна сила-сила Кориолиса или кориолисова сила
Малые колебания
Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть определено с помощъю одной величины, например х. В этом случае говорят, что система имеет одну степень свободы.Величиной х может быть
Гармонические колебания
Уравнение 2-го Закона Нъютона в отсутствие сил трения для квазиупругой силы вида имеет вид:
Математический маятник
Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною, совершающая колебания в вертикальной плоск
Физический маятник
Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, связанной с телом. Ось перпендикулярна рисунку и нап
Затухающие колебания
В реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводят к уменьшению потенциальной энергии системы, и колебания будут затухающими.В простейшем случае
Автоколебания
При затухающих колебаниях энергия системы постепенно уменьшается и колебания прекращаются. Для того, чтобы их сделать незатухающими, необходимо пополнять энергию системы извне в определенные момент
Вынужденные колебания
Если колебательная система, кроме сил сопротивления, подвергается действию внешней периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону
Резонанс
Кривая зависимости амплитуды вынужденых колебаний от приводит к тому, что при некоторой определенной для данной систе
Распространение волн в упругой среде
Если в каком либо месте упругой среды (твёрдой, жидкой, газообразной) поместить источник колебаний, то из-за взаимодействия между частицами колебание будет распространяться в среде от частицы к час
Уравнение плоской и сферической волн
Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от ее кординат,
Волновое уравнение
Уравнение волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым.
Для его установления найдем вторые частные производные по времени и координатам от урав
В любой системе материальных точек, а следовательно, и системе тел имеется одна замечательная точка С, которая называется центром масс илицентром инерции системы. Ее положение определяется радиусом-вектором r c :
Для центра масс справедливо следующее утверждение: при движении любой системы частиц ее центр масс движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены всевнешние силы, действующие на систему. По форме уравнение движения центра масс совпадает со вторым законом Ньютона:
где - ускорение центра масс.
Уравнение динамики вращательного движения
При вращательном движении твердого тела аналогом второго закона Ньютона является основное уравнение динамики вращательного движения , которое имеет вид:
где e - угловое ускорение, М - суммарный момент сил относительно оси вращения. Если момент инерции тела изменяется в процессе движения, то нужно применять этот закон в следующей форме:
где - момент импульса твердого тела.
Любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух основных видов движения - поступательного и вращательного. Например, качение шара можно рассматривать как перемещение с ускорением, равным ускорению центра масс, и вращение относительно оси, проходящей через центр масс. Каждое движение подчиняется, как показано в таблице 5, соответствующему закону.
Законы динамики в неинерциальных системах отсчета.
Силы инерции
Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называются неинерциальными (НИСО) , и в них не выполняются рассмотренные выше законы динамики: второй закон Ньютона, уравнение движения центра масс, уравнение динамики вращательного движения. Однако их можно сохранить и для неинерциальных систем, если кроме обычных сил взаимодействия F ввести еще “силы” особой природы F ин , называемые силами инерции . Их введение обусловлено ускорением движения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.
Законы динамики Таблица 5
| Физическая ситуация | Применяемые законы |
| Прямолинейное движение материальной точки, поступательное движение твердого тела | Второй закон Ньютона |
| Движение материальной точки по окружности или другой криволинейной траектории | Второй закон Ньютона |
| Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси | Основной закон динамики вращательного движения |
| Сложное движение твердого тела | Уравнение движения центра масс и уравнение динамики вращательного движения |
В НИСО законы динамики примут вид:
второй закон Ньютона + ;
уравнение движения центра масс + ;
уравнение динамики вращательного движения + .
Существует два основных типа неинерциальных систем. Обозначим символом К инерциальную систему отсчета, а - неинерциальную .
1. движется относительно К с постоянным ускорением . В этом случае в уравнениях динамики следует ввести силу инерции , равную = - m a c . Точкой приложения этой силы считать центр масс.
Дифференциальные уравнения движения системы
Рассмотрим систему, состоящую из $n$ материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой $m_{k}.$ Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через $\overline{F}_{k}^{e} $, а равнодействующую всех внутренних сил -- через $\overline{F}_{k}^{l} $. Если точка имеет при этом ускорение $\overline{a_{k} }$, то по основному закону динамики:
Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:
Уравнения (1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме.
Проектируя равенства (1) на координатные оси, получим уравнения движения системы в дифференциальной форме в проекциях на эти оси.
Однако при решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти характеристики, определяющие движение всей системы в целом.
Теорема о движении центра масс системы
Для определения характера движения системы требуется знать закон движения ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор $R$которой выражается через радиус векторы $r_{1} ,r_{2} ,...$материальных точек по формуле:
$R=\frac{m_{1} r_{1} +m_{2} r_{2} +...+m_{n} r_{n} }{m} $, (2)
где $m=m_{1} +m_{2} +...+m_{n} $ - общая масса всей системы.
Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (1) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим:
$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =\sum \overline{F}_{k}^{e} +\sum \overline{F}_{k}^{l} $. (3)
Из формулы (2) имеем:
Беря вторую производную по времени, получаем:
$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =M\overline{a}_{c} $, (4)
где $\overline{a}_{c} $- ускорение центра масс системы.
Так как по свойству внутренних сил в системе $\sum \overline{F}_{k}^{l} =0$, получим окончательно из равенства (3), учтя (4):
$M\overline{a}_{c} =\sum \overline{F}_{k}^{e} $. (5)
Уравнение (5) выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или центр масс системы движется как материальная точка , масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Проецируя обе части равенства (5) на координатные оси, получим:
$M\ddot{x}_{c} =\sum \overline{F}_{kx}^{e} $, $M\ddot{y}_{c} =\sum \overline{F}_{ky}^{e} $, $M\ddot{z}_{c} =\sum \overline{F}_{kz}^{e} $. (6)
Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.
Значение теоремы состоит в следующем:
Теорема
- Поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс и допустимо по условиям задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела;
- Теорема позволяет исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом ее практическая ценность.
Пример
Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины равномерно вращается с угловой скоростью $\omega $. Нить составляет угол $\alpha $с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения.
\[\omega \] \[\alpha \]
На нашу систему действует сила тяжести $\overline{N}$ $\overline{N}$ $\alpha \alpha$, сила натяжения нити и центростремительное ускорение.
Запишем второй закон Ньютона для нашей системы:
Спроецируем обе части на оси x и y:
\[\left\{ \begin{array}{c} N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end{array} \right.(4)\]
Разделив одно уравнение на другое, получим:
Так как $a=\frac{v^{2} }{R} ;$$v=\omega R$, находим искомое расстояние:
Ответ: $R=\frac{gtg\alpha }{\omega ^{2} } $